Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1: 

Cho hình chóp  S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên C, \(SA \bot (ABC).\)

Bạn đang xem: Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A bên trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)

c) Gọi (P) là mặt mũi bằng qua quýt AE và vuông góc với SB, (P) giao phó với SB bên trên D. Đường trực tiếp DE hạn chế BC bên trên F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)

Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)

Theo câu a tao có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)

Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)

c) Ta xuất hiện bằng (P) đó là mặt mũi bằng (ADE).

Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)

Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).

Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thang vuông bên trên A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông vắn.

Xem thêm: TOP 22 kem chống nắng cho bà bầu an toàn nhất hiện nay

Do bại, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)

Mặt không giống tam giác CID vuông cân nặng bên trên I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)

Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).

Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).

Hay tam giác SCD vuông bên trên C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mũi bằng lòng, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).

\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC bên trên mặt mũi bằng (SAB).

\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)

Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Trong  mặt bằng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)

Theo câu a tao có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC bên trên mặt mũi bằng (SBC).

Xem thêm: Casio 880 có được mang vào phòng thi không?

\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)

Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)

Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)