[Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2024

Bài viết lách này Vted tổ hợp và reviews lại một vài công thức tính thời gian nhanh thể tích của khối tứ diện cho tới một vài tình huống đặc biệt quan trọng hoặc gặp

Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tháo tính thể tích cho tới khối tứ diện bất kì lúc biết chừng lâu năm toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi ghi nhớ những công thức này canh ty những em giải quyết và xử lý thời gian nhanh một vài dạng bài bác khó khăn về thể tích khối tứ diện nhập đề đua trung học phổ thông Quốc Gia 2019 - Môn Toán.

Bài viết lách này trích lược một vài công thức thời gian nhanh hoặc sử dụng cho tới khối tứ diện. Các công thức thời gian nhanh không giống tương quan cho tới thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ độc giả tìm hiểu thêm khoá COMBO X bởi Vted phát triển bên trên trên đây https://baohiem-online.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2023-mon-toan-danh-cho-teen-2k5-18

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

>>Xem thêm Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem đề đua Thể tích tứ diện và những tình huống đặc biệt

>>Xem tăng bài bác giảng và đề đua áp dụng cao Thể tích nhiều diện

>>Xem tăng Tóm tắt lý thuyết và Nón - trụ - Cầu

Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ với $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ tớ với công thức tính thể tích của tứ diện theo đuổi sáu cạnh như sau: \[V=\dfrac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q},\] nhập ê \[\begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \\ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \\ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \\ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \\ \end{align}\]

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $a,$ tớ với $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải có độ cao bởi \[h\]. Thể tích của khối tứ diện tiếp tục cho tới là

A. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}\].

B. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}\].

C. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

D. \[V=\dfrac{2\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$

Chiều cao tứ diện đều là $h=\frac{3V}{S}=\frac{3\left( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} \right)}{\frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a\Rightarrow a=\sqrt{\frac{3}{2}}h.$

Vì vậy $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{{\left( \sqrt{\frac{3}{2}}h \right)}^{3}}=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc bên trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ với $AB,AC,AD$ song một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ tớ với $V=\dfrac{1}{6}abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện ngay gần đều (các cặp cạnh đối ứng bởi nhau)

Với tứ diện $ABCD$ với $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ tớ với \[V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.\]

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện tiếp tục cho tới bằng

A. $\frac{\sqrt{30}}{3}.$

B. $\frac{20\sqrt{11}}{3}.$

C. $\sqrt{30}.$

D. $20\sqrt{11}.$

Giải. Ta với ${{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{20\sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ với $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cơ hội kể từ điểm $A$ cho tới mặt mũi phẳng phiu $(CMD)$bằng

A. $\frac{\sqrt{31}}{2}.$

B. $\frac{\sqrt{55}}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{21}}{2}.$

D. $\frac{\sqrt{33}}{2}.$

Giải. Ta với ${{V}_{AMCD}}=\frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{10\sqrt{11}}{3}.$

Tam giác $MCD$ với $CD=8$ và theo đuổi công thức lối trung tuyến tớ có:

$MC=\sqrt{\frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

và $MD=\sqrt{\frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

Vậy ${{S}_{MCD}}=4\sqrt{5}.$ Do ê $d(A,(MCD))=\frac{3{{V}_{AMCD}}}{{{S}_{MCD}}}=\frac{10\sqrt{11}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ với $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ rất có thể tích bằng

A. $\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

B. $8\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

C. $2\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

D. $4\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện ngay gần đều có

${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{\left( {{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{7}^{2}} \right)\left( {{6}^{2}}+{{7}^{2}}-{{5}^{2}} \right)\left( {{7}^{2}}+{{5}^{2}}-{{6}^{2}} \right)}{{a}^{3}}=2\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Chọn đáp án C.

Xem tăng bên trên đây: https://www.baohiem-online.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Công thức 4: Khối tứ diện với khoảng cách và góc thân thiện cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ với $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=\alpha ,$ tớ với $V=\dfrac{1}{6}abd\sin \alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ với $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì khoảng cách thân thiện hai tuyến đường trực tiếp $AD$ và $BC$ bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{3}}.$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

D. $\frac{1}{3}.$

>>Lời giải chi tiết:

Ví dụ 2: Cho nhị mặt mũi cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ với nằm trong tâm $I$ và nửa đường kính thứu tự ${{R}_{1}}=2,{{R}_{2}}=\sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ với nhị đỉnh $A,B$ phía trên $({{S}_{1}});$ nhị đỉnh $C,D$ phía trên $({{S}_{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3\sqrt{2}.$

B. $2\sqrt{3}.$

C. $6\sqrt{3}.$

D. $6\sqrt{2}.$

Giải. Gọi $a,b$ thứu tự là khoảng cách kể từ tâm $I$ cho tới hai tuyến đường trực tiếp $AB,CD.$

Ta với $AB=2\sqrt{R_{1}^{2}-{{a}^{2}}}=2\sqrt{4-{{a}^{2}}};CD=2\sqrt{R_{2}^{2}-{{b}^{2}}}=2\sqrt{10-{{b}^{2}}}$ và $d(AB,CD)\le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $\sin (AB,CD)\le 1.$

Do ê vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo đuổi khoảng cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối lập có:

$\begin{gathered} {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD) \leqslant \frac{2}{3}(a + b)\sqrt {4 - {a^2}} \sqrt {10 - {b^2}} \\ = \frac{2}{3}\left( {a\sqrt {4 - {a^2}} \sqrt {10 - {b^2}} + b\sqrt {10 - {b^2}} \sqrt {4 - {a^2}} } \right) = \frac{2}{3}\left( {\sqrt {4{a^2} - {a^4}} \sqrt {10 - {b^2}} + \sqrt {\frac{{10{b^2} - {b^4}}}{2}} \sqrt {8 - 2{a^2}} } \right) \\ \leqslant \frac{2}{3}\sqrt {\left( {4{a^2} - {a^4} + 8 - 2{a^2}} \right)\left( {10 - {b^2} + \frac{{10{b^2} - {b^4}}}{2}} \right)} = \frac{2}{3}\sqrt {\left( { - {{({a^2} - 1)}^2} + 9} \right)\left( { - \frac{1}{2}{{({b^2} - 4)}^2} + 18} \right)} \leqslant \frac{2}{3}\sqrt {9.18} = 6\sqrt 2 . \\ \end{gathered} $

Dấu bởi đạt bên trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho một hình trụ với tiết diện qua chuyện trục là một trong hình vuông vắn cạnh bởi $a.$ lõi rằng $AB$ và $CD$ là nhị 2 lần bán kính ứng của nhị lòng và góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp $AB$ và $CD$ bởi $30{}^\circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $\frac{{{a}^{3}}}{12}.$

B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$

C. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$

Có $h=2r=a;{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD)=\frac{1}{3}.2r.2r.h.\sin {{30}^{0}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Một người thợ thuyền với 1 khối đá hình trụ. Kẻ nhị 2 lần bán kính $MN,\text{ }PQ$ thứu tự bên trên nhị lòng sao cho tới $MN\bot PQ.$ Người thợ thuyền ê hạn chế khối đá theo đuổi những mặt phẳng cắt trải qua $3$ nhập $4$ điểm $M,\text{ }N,\text{ }P,\text{ }Q$ nhằm nhận được khối đá với hình tứ diện $MNPQ.$ lõi rằng thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bởi $64\text{ }d{{m}^{3}}.$ Tính thể tích của lượng đá bị hạn chế vứt (làm tròn trĩnh thành phẩm cho tới $1$ chữ số thập phân).

A. $86,8\text{ }d{{m}^{3}}.$

B. $237,6\text{ }d{{m}^{3}}.$

C. $338,6\text{ }d{{m}^{3}}.$

D. $109,6\text{ }d{{m}^{3}}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo đuổi khoảng cách và góc thân thiện cặp cạnh đối tớ có

${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{6}MN.PQ.d\left( MN,PQ \right).\sin \left( MN,PQ \right)=\dfrac{1}{6}.2r.2r.h.\sin {{90}^{0}}=\dfrac{2}{3}{{r}^{2}}h=\dfrac{2}{3\pi }V{{T}_{T}}$

Thể tích lượng đá bị hạn chế vứt là ${{V}_{T}}-{{V}_{MNPQ}}=\left( \dfrac{3\pi }{2}-1 \right){{V}_{MNPQ}}\approx 237,6\text{ d}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích S nhị mặt mũi kề nhau

Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ với lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $A,AB=a,\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90{}^\circ ,$ góc thân thiện nhị mặt mũi phẳng phiu $(SAB)$ và $(SAC)$ bởi $60{}^\circ .$ Thể tích của khối chóp tiếp tục cho tới bằng

A. ${{a}^{3}}.$

B. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$

D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Lời giải cụ thể. Gọi $H=\mathbf{h/c(S,(ABC))}$ tớ với $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SB \hfill \\ AB \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot (SBH) \Rightarrow AB \bot BH;\left\{ \begin{gathered} AC \bot SC \hfill \\ AC \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AC \bot (SCH) \Rightarrow AC \bot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $A,AB=a$ suy đi ra $ABHC$ là hình vuông vắn.

Đặt $h=SH\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$

Mặt không giống ${{V}_{S.ABC}}=\frac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.\sin \left( (SAB),(SAC) \right)}{3SA}=\frac{2\left( \frac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} \right)\left( \frac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} \right)\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}(2).$

Từ (1) và (2) suy đi ra $h=a\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ với $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,\cos \left( (ABC),(ACD) \right)=\dfrac{\sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

B. ${{a}^{3}}.$

C. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$

D. $3{{a}^{3}}.$

Xem thêm: So sánh Derma Forte và Megaduo - Sản phẩm Azelaic Acid được yêu thích hiện nay - DA101

Lời giải cụ thể. Gọi $H=\mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=h\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{BCD}}.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}CB.CD.AH=\frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$

Ta với $\left\{ \begin{gathered} CB \bot BA \hfill \\ CB \bot AH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow CB \bot (ABH) \Rightarrow CB \bot HB.$ Tương tự động $\left\{ \begin{gathered} CD \bot DA \hfill \\ CD \bot AH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow CD \bot (ADH) \Rightarrow CD \bot HD.$

Kết phù hợp với $\widehat{BCD}={{90}^{0}}\Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy đi ra $AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}},AD=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}.$

Suy đi ra ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{a\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2};{{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}AD.DC=a\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}.$

Suy đi ra ${{V}_{ABCD}}=\frac{2{{S}_{ABC}}.{{S}_{ACD}}.\sin \left( (ABC),(ACD) \right)}{3AC}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}}\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{130}}{65} \right)}^{2}}}(2).$

Kết thích hợp (1), (2) suy ra: $h=3a\Rightarrow {{V}_{ABCD}}={{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ với lòng là hình thoi cạnh $a,\widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh mặt mũi $SA$ vuông góc với lòng và góc thân thiện nhị mặt mũi phẳng phiu $(SBC),(SCD)$ bởi ${{60}^{0}},$ khi ê $SA$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{4}.$

B. $\sqrt{6}a.$

C. $\dfrac{\sqrt{6}a}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}.$

Có $SA=x>0\Rightarrow {{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{BCD}}.SA=\dfrac{\sqrt{3}x}{12}(1),\left( a=1 \right).$

Mặt không giống ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{2{{S}_{SBC}}.{{S}_{SCD}}.\sin \left( (SBC),(SCD) \right)}{3SC}=\dfrac{2{{\left( \dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3}}(2).$

Trong ê $BC=1,SB=\sqrt{{{x}^{2}}+1},SC=\sqrt{{{x}^{2}}+3}\Rightarrow {{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4};\Delta SBC=\Delta SDC(c-c-c)\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4}.$

Từ (1) và (2) suy đi ra \[x=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\] Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ với $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$

B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$

D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$

Có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{2{{S}_{ABC}}{{S}_{ABD}}\sin \left( (ABC),(ABD) \right)}{3AB}=\dfrac{2\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)}{3a}\sin \left( (ABC),(ABD) \right)\le \dfrac{2\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)\left( \frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)}{3a}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$

Dấu bởi đạt bên trên $(ABC)\bot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ với diện tích S tam giác ${A}'BC$ bởi $4,$ khoảng cách kể từ $A$ cho tới $BC$ bởi $3,$ góc thân thiện nhị mặt mũi phẳng phiu $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ bởi $30{}^\circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng

A. $3\sqrt{3}.$ B. $6.$ C. $2.$ D. $12.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện cho tới tình huống biết góc và diện tích S của nhị mặt

${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{{A}'.ABC}}=3\left( \dfrac{2{{S}_{{A}'BC}}.{{S}_{ABC}}.\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}{3BC} \right)$

$=\dfrac{{{S}_{{A}'BC}}.d\left( A,BC \right).BC.\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}{BC}={{S}_{{A}'BC}}.d\left( A,BC \right).\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=4.3.\dfrac{1}{2}=6.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6:Mở rộng lớn cho tới khối chóp với diện tích S mặt mũi mặt và mặt mũi đáy

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ với $V=\dfrac{2{{S}_{S{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}.\sin \left( (S{{A}_{1}}{{A}_{2}}),({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}) \right)}{3{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết những góc bên trên và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ với $SA=a,SB=b,SC=c,\widehat{BSC}=\alpha ,\widehat{CSA}=\beta ,\widehat{ASA}=\gamma .$

Khi ê $V=\dfrac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -{{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\beta -{{\cos }^{2}}\gamma }.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo đuổi $a.$

A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo đuổi những góc bên trên một đỉnh tớ có

${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{6}SA.SB.SC\sqrt{1+2\cos \widehat{ASB}\cos \widehat{BSC}\cos \widehat{CSA}-{{\cos }^{2}}\widehat{ASB}-{{\cos }^{2}}\widehat{BSC}-{{\cos }^{2}}\widehat{CSA}}$

$=\dfrac{1}{6}a.2a.4a\sqrt{1+2\left( \dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right)-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}.$

Chọn đáp án B.

https://baohiem-online.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Cách 2:

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ \[ABC.{A}'{B}'{C}'\] với $\widehat{A{A}'B}=\widehat{B{A}'C}=\widehat{C{A}'A}={{60}^{0}}$ và $A{A}'=3a,B{A}'=4a,C{A}'=5a.$ Thể tích khối lăng trụ tiếp tục cho tới bằng

A. $10\sqrt{2}{{a}^{3}}.$

B. $15\sqrt{2}{{a}^{3}}.$

C. $5\sqrt{2}{{a}^{3}}.$

D. $30\sqrt{2}{{a}^{3}}.$

Giải. Ta với ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{{A}'.ABC}}$ và vận dụng công thức tính thể tích khối tứ diện theo đuổi những góc bên trên một đỉnh tớ được

$=3.\dfrac{1}{6}{A}'A.{A}'B.{A}'C\sqrt{1+2\cos \widehat{A{A}'B}\cos \widehat{B{A}'C}\cos \widehat{C{A}'A}-{{\cos }^{2}}\widehat{A{A}'B}-{{\cos }^{2}}\widehat{B{A}'C}-{{\cos }^{2}}\widehat{C{A}'A}}$

$=\dfrac{1}{2}.3a.4a.5a\sqrt{1+2{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-3{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=15\sqrt{2}{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ với $AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt{2},BD=3\sqrt{3},AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải. Tứ diện này còn có chừng lâu năm toàn bộ những cạnh tớ tính những góc bên trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc khởi nguồn từ nằm trong 1 đỉnh:

Có $\left\{ \begin{gathered}\hfill \cos \widehat{BAD}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=\sqrt{\dfrac{2}{11}} \\ \hfill \cos \widehat{DAC}=\dfrac{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2AD.AC}=\dfrac{5}{2\sqrt{11}} \\ \hfill \cos \widehat{CAB}=\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AC.AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{gathered} \right..$

Vì vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}.5.2\sqrt{2}.\sqrt{22}\sqrt{1+2\sqrt{\dfrac{2}{11}}\dfrac{5}{2\sqrt{11}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}-{{\left( \sqrt{\dfrac{2}{11}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{5}{2\sqrt{11}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=5.$